Polinomial (Suku Banyak)

SUKU BANYAK (POLINOMIAL)

          Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

          Contoh suku banyak:

1.    3x⁵ - x² + 10              (5 Suku)

2.    x² - 5x + 6                 (2 Suku)

3.    (2x - 3)² (3 - 5x)³       (5 Suku)

4.     dst,

Bentuk Umum (BU) Suku Banyak:

a_nxⁿ + a_(n-1)x^n-1 + a_(n-2)x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀

dengan syarat a_n ≠ 0, maka:

a_n            = koefisien xⁿ

a_n-1          = koefisien x^n-1

a₂            = koefisien x²

a₁            = koefisien x

a₀            = konstanta

Ø  Derajat Suku Banyak

          Derajat suku banyak dalam x dapat ditentukan dengan bayaknya pangkat tertinggi dalam suku banyak suku tersebut.

Contoh:

1.        2x² – 7x + 15 adalah suku banyak berderajat 2

2.        3x⁵ + x⁴ – 7x³ + x – 11 adalah suku banyak berderajat 5

3.        (x -5)³ (1 + 7x)⁴ adalah suku banyak berderajat 7

Catatan: suku banyak 2x⁴ + 5x³ – 3x² – 5x + 1 disusun menurut aturan pangkat turun

Nilai Polinomial (Suku Banyak)

                             

                

Adapun grafik y = (x – 1)³ diperoleh dari grafik y = x³ dengan cara menggeser grafik dari y = x³ sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.

Amati keempat persamaan berikut.

y = x²

y = (x + 2)² = x²+ 4x+ 4

y = x³

y = (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1

Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku banyak dalam peubah (variabel) x.Suku banyak x³ – 3x² +3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x³, suku ke-2 adalah

–3x², suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4 adalah –1. Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat

dari suku banyak x³ – 3x² + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku banyak dari x³, x², dan xberturut-turut adalah 1, –3, dan 3. Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).

Dari uraian tersebut, dapatkah untuk menyatakan suku banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat n secara umum. Maka diperoleh:

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀

Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x yang berkurang dengan a_n, a_n-1, ..., a₁ adalah koefisien-koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dan a_n ≠ 0.

a₀ = suku tetap yang merupakan konstanta real

n  = derajat suku banyak dan n adalah bilangan cacah

Ø  Mencari Nilai Suku Banyak

1.    Cara Subtitusi

Untuk x = k maka nilai suku banyak, yakni:

f(k) = a_nkⁿ + a_n-1k^n-1 + a_n-2k^n-2 + ... + a₂k² + a₁k + a₀

2.    Cara Skematik/Bagan (Aturan Horner)

Dari skema tersebut, didapat f(2) = -16. Tanda  berarti “kalikan dengan 2”.

Contoh tersebut menggambarkan cara menentukan nilai suku banyak f(x) untuk x = k, yaitu sebagai berikut.

a.       Kalikan a dengan k. Tambahkan hasilnya dengan b. Didapat ak + b.

b.      Kalikan ak + b dengan k. Tambahkan hasilnya dengan c. Didapat

(ak +b)k + c.

c.       Kalikan (ak + b)k + c dengan k. Tambahkan hasilnya dengan d.

Didapat ((ak +b)k + c)k + d.

Proses mengalikan dan menjumlahkan pada algoritma ini dapat disusun

dalam bentuk skema berikut. 

Tanda berarti “kalikan dengan k”. Menentukan nilai suku banyakf(k) dengan cara seperti ini disebut cara skematik.

Contoh:

1.        Diketahui suku banyak f(x) = x³ + 2x² – 3x + 2. Jika f(2) maka berapa nilainya?

Jawab:

Cara Subtitusi

f(2) = 2³ + 2.2² – 3.2 + 2

       = 8 + 2 – 6 + 2

            = 12